Bhāskara II - poėtische algebra uit India

Bhāskara II Bhāskara II, ook wel Bhāskarāchārya genoemd, is de belangrijkste sterrenkundige en wiskundige uit India in de 12e eeuw. Hij wordt geboren in 1115 in het tegenwoordige Bijapur. Hij is leider van het sterrenkundig observatorium in Ujjain, dit is het centrum van de wiskunde van oud en middeleeuws India. De combinatie wis- en sterrenkunde zien we in de middeleeuwen eigenlijk zonder uitzondering optreden.

Boeken en rekenregels
Bhāskara II schrijft een aantal boeken. Bekende wiskundige werken zijn Līlāvatī ('De Schone') en Bījaganita ('Zaden tellen'). Het eerste boek behandelt rekenmethodes, meetkunde en algebra. Het tweede gaat in zijn geheel over algebra. Hij gebruikt in beide werken het decimale systeem; niet alleen met positieve gehele getallen, maar ook negatieve! De besproken rekenmethodes vertonen sterke overeenkomsten met de huidige manier van rekenen. Verder ziet Bhāskara II 0 als een geheel getal, niet alleen maar als een tekentje dat 'niets' aangeeft. Dit is revolutionair voor die tijd. Het gebruik van de 0 is overigens niet nieuw. Ptolemaeus had de 0 al ingevoerd, maar dit werd niet overgenomen door latere wiskundigen. Al-Chwarizmi voerde de 0 ook in als symbool voor 'lege plaats'.
Bhāskara II is de eerste die het probleem dat delen door 0 geeft signaleert en er ook een oplossing voor vindt. Bhāskara II stelt 0 en ∞ (oneindig) als elkaars inverse. Als je een getal deelt door 0, dan komt daar dus ∞ uit. Bovendien, als je een getal

Vreugde

Inderdaad, vreugde en geluk nemen ooit toe in deze wereld voor hen die Līlāvatī tot zich hebben genomen.

Citaat uit: Līlāvatī

deelt door 0 en direct daarna vermenigvuldigt met 0, dan komt daar het oorspronkelijke getal uit. Dit betekent dat de operatie 'vermenigvuldigen met 0' volgens Bhāskara II niet steeds hetzelfde antwoord levert. Iets wat bij onze huidige rekenmethodes wel het geval is (omdat dan alles keer 0 gelijk aan 0 is).
Bhāskara II gebruikt ook negatieve getallen in zijn berekeningen. Hierdoor ontdekt hij dat de wortel van een getal een positieve maar ook negatieve waarde heeft. Zijn werk heeft bijgedragen aan de acceptatie van negatieve getallen, hoewel hij zelf zegt: 'Mensen keuren de negatieve oplossingen niet goed.'
Ook schrijft Bhāskara II over de tekenconventies. Hij rekent voor dat -4 - -3 = -1. Opvallend is overigens dat een negatief getal in het Indiase schrift met een puntje boven het getal aan wordt gegeven.
Zijn boeken zijn als poėzie geschreven. De constructies van de opgaven zijn regelmatig als volgt: Als een getal... (blabla), vertel me dan, mijn vriend, wat zijn dan de... (blabla)? Laten we de proefwerken en tentamens ook eens in deze stijl gaan schrijven.

Een van de opgaven uit Līlāvatī is:

Van een bos lotusbloemen,
wordt eenderde geofferd aan Shiva,
eenvijfde aan Vishnu,
eenzesde aan Sūrya.
Een kwart wordt gegeven aan Bhāvani.
De zes overblijvende bloemen
worden gegeven aan de eerbiedwaardige tutor.
Hoeveel bloemen zijn er totaal?

Algebra en meetkunde
Op het gebied van algebra verbetert Bhāskara II het werk van Bramagupta. Hij voert wat symbolische notatie in en gebruikt woordsymbolen voor variabelen en wel zo dat verschillende onbekenden, verschillende namen van kleuren krijgen. Hij lost onbepaalde eerste- en tweedegraads vergelijkingen op. Bhāskara II is geobsedeerd door de vergelijking (in moderne notatie) ax2+1=y2 (waarbij a, x en y gehele getallen zijn, a een gegeven getal en x en y gevonden moeten worden). Zelf geeft hij een oplossing waarbij a=8, x=6 en y=17. In de meetkunde vindt hij een schatting voor π als 3,14166.

Sterrenkunde
Bhāskara II schrijft ook over sterrenkunde. Bekend zijn de boeken Sīddhāntasiromani ('Kroonjuweel van nauwkeurigheid') en Karanakutūhala ('Berekeningen van astronomische wonderen'). Deze boeken bevatten sterrenkundige waarnemingen, planeetposities, geografie, bolmeetkunde en wiskundige technieken toegepast op sterrenkunde. De eerstgenoemde bevat soms ook Līlāvatī en Bījaganita.

Einde
Bhāskara II overlijdt omstreeks 1175.

Literatuur

  1. Calinger, R. Classics of Mathematics. Mooire Publishing Company, Illinois, 1982.
  2. Ifrah, G. The Universal History of Numbers. Editions Robert Laffront S.A., Parijs, 1981.
  3. Pingree, D. Bhāskara II. In: Dictionary of Scientific Biography. Scribner, New York, 1970-1990.

Terug naar overzicht

Niet overnemen zonder overleg.

(c) 2008 Johannes Lok en Wiggert Loonstra   Laatste update: 26 november 2007