Cardano - nergens mee te vergelijken

Cardano Girolamo Cardano wordt geboren op 24 september 1501 in Pavia, een stadje in de buurt van Milaan. Zijn naam wordt verbonden aan de oplossing van een probleem in de wiskunde waaraan zo'n 600 jaar gewerkt is. Het boek dat hij hierover schreef is van groot belang geweest, en is dat nog steeds, maar toch verdient hij niet alle eer.

De derdegraads vergelijking
Het probleem waar Cardano aan werkt is de oplossing van derde- en vierdegraads vergelijkingen. In 1494 publiceert de Italiaan Luca Pacioli een boek waarin hij de wiskunde beschrijft die tot op dat moment bekend is. Hierin zegt hij onder andere dat het niet mogelijk zal zijn een derde- laat staan vierdegraads vergelijking op te lossen. Een derdegraads vergelijking is, in moderne notatie, van de vorm: ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Scipione del Ferro vindt een oplossing voor de vereenvoudigde vergelijking x3 + mx = n. Deze houdt hij echter geheim, iets wat in die tijd niet ongebruikelijk is. Door de oplossing voor jezelf te houden, kun je ergens in uitblinken; als je de oplossing deelt met anderen, kan iedereen er mee rekenen. Pas op zijn sterfbed in 1526 vertelt hij zijn geheim aan leerling Antonio Fior. De leerling daagt vervolgens de wiskundige Niccolo Fontana uit om ook tot een oplossing te komen. Fontana, die de bijnaam Tartaglia (de stotteraar) heeft, gaat, omdat hij uitgedaagd is, op zoek en ontdekt zelf de oplossing van x3 + mx = n. Later ontdekt hij ook oplossingen van x3 = n + mx en x3 + n = mx. Deze methoden heeft hij ontwikkeld onafhankelijk van Del Ferro. Tartaglia wint de wedstrijd met glans.

Oplossing
Nu pas begint Cardano een rol te spelen in de strijd om de oplossing van de vergelijkingen. Cardano schrijft keer op keer aan Tartaglia of deze de oplossing met hem wil delen. Na lang aandringen is het op 25 maart 1539 zo ver. Na allerlei beloftes van Cardano dat hij de oplossing niet openbaar zal maken (o.a. op basis van zijn 'goed-christen-zijn'), onthult Tartaglia het geheim.

Cardano krijgt een leerling (later ook schoonzoon), Ludovico Ferrari, aan wie hij de oplossing wel vertelt en samen werken ze aan een manier om de 'algemene' derdegraads vergelijking op te kunnen lossen. Deze manier vinden ze ook, maar omdat Tartaglia's werk eraan ten grondslag ligt, is het onmogelijk de resultaten te publiceren. Later slaagt Ferrari erin om een vierdegraads vergelijking op te lossen,

Ars Magna

Cardano schrijft op de laatste pagina in zijn Ars Magna: "Geschreven in vijf jaar, moge het vele duizenden blijven bestaan."
door deze te reduceren tot een derdegraad. Ook hier geldt dat uitkomsten niet gepubliceerd kunnen worden, vanwege de belofte aan Tartaglia.

Maar, als Cardano samen met zijn leerling Ferrari naar Bologna reist en daar handgeschreven teksten van Del Ferro aantreft met de oplossing voor de vereenvoudigde derdegraads vergelijking, vindt Cardano dat de tijd rijp is om zijn resulaten te publiceren. Hij kan nu immers zeggen dat hij bij Del Ferro de oplossing gezien heeft, in plaats van dat hij Tartaglia's werk (toch) openbaar maakt.

Ars Magna
En dan verschijnt in 1545 Ars Magna, een wiskundig meesterwerk. Voor de wiskundig geïnteresseerden uit die tijd moet het een ademloos gebeuren zijn geweest dit boek te lezen. Wat lange tijd voor onmogelijk werd gehouden, bleek opeens mogelijk! De derde- en zelfs de vierdegraads vergelijking kan algebraïsch opgelost worden. Dit boek is het belangrijkste wiskundige werk geschreven door een Italiaan in de zestiende eeuw. Om de oplossing van de derde- en vierdegraads vergelijking te kunnen geven legt Cardano hier eerst in uit dat een vergelijking met een graad hoger dan 1 ook meer dan één oplossing moet hebben. Bovendien ziet hij in dat als één wortel van een vergelijking bekend is de graad met 1 verlaagd kan worden. Ook onderzoekt hij de oplossingen en probeert een verband te vinden in de relatie tussen de wortels (oplossingen) en de coëfficiënten van de vergelijking en tussen de opeenvolging van tekens van de termen en de tekens van de wortels. Tot dan toe was het gebruikelijk alleen de oplossingen te zoeken.

Na de publicatie
En Tartaglia, die is woedend. Hij voelt zich genomen. Beloften zijn verbroken. Hij schrijft aan Cardano: 'Als ik in staat was u te belonen, zou ik u opzadelen met zoveel radijsjes en wortels, dat u uw hele leven niets anders meer zou kunnen eten!' (De 'wortels' verwijzen hier naar de oplossingen van een vergelijking die ook 'wortels' genoemd worden.)

Merk op dat er tot in de 19e eeuw pogingen gedaan zijn een oplossing voor de vijfdegraads vergelijking te vinden. Galois bewees in 1824 dat er voor vijfde- en hogeregraads vergelijkingen geen algemene formule bestaat om altijd algebraïsch tot een oplossing te komen.

Andere onderwerpen
Omdat Cardano zelf van gokspelletjes houdt, gaat hij daar onderzoek naar doen. Dit resulteert in het Boek over kansspelen, dat in 1663 posthuum wordt gepubliceerd. Het is een van de eerste wiskundige benaderingen van de kansrekening. Naast wiskundige is Cardano ook arts. Hij is de dokter van de paus en ook van de aartsbisschop in Schotland.

Leven
Het begin van Cardano's leven wordt geteisterd door veel ziekte. In 1520 gaat hij in Pavia studeren om vervolgens in 1526 in Padua af te studeren op medicijnen. Hij gaat vrijwel meteen na zijn studie aan het werk.
Privé gaat het Cardano allemaal wat minder voor de wind. Zijn vrouw sterft als zij 31 jaar oud is. Van zijn drie kinderen wordt er één onthoofd en een ander belandt meerdere keren in de gevangenis. Ook zelf heeft hij de gevangenis van binnen gezien, nadat hij in 1570 door de Inquisitie is gevangengenomen. Hij wordt beschuldigd van ketterij nadat hij de horoscoop van Jezus heeft getrokken en de gebeurtenissen in Zijn leven heeft toegeschreven aan de invloed van de sterren.
Toch lijdt de wetenschappelijke productie van Cardano niet onder deze gebeurtenissen. Hij schrijft meer dan 200 werken over medicijnen, wiskunde, natuurkunde, filosofie, religie en muziek.

Literatuur

  1. Dunham, W. Journey through Genius. The great theorems of Mathematics. Wiley Science Editions, New York, 1990.
  2. Gliozzi, M. Cardano. In: Dictionary of Scientific Biography. Scribner, New York, 1970-1990.
  3. Gottwald, S. e.a. Lexikon bedeutender Mathematiker. Bibliographisches Institut Leipzig, Leipzig, 1990.

Terug naar overzicht

Niet overnemen zonder overleg.

(c) 2008 Johannes Lok en Wiggert Loonstra   Laatste update: 26 november 2007