Gödel - volledig in het onvolledige

Gödel Op 28 april 1906 wordt Kurt Friedrich Gödel geboren in het tegenwoordige Brno. Al vroeg blijkt dat hij een slimme jongen is. Omdat hij voortdurend 'waarom-vragen' stelt, noemen zijn ouders en oudere broer Rudolf hem wel 'der Herr Warum'. Veelal zijn het vragen waar de grote mensen geen antwoord op hebben, of die zij zien als vragen waar in het geheel geen antwoord op te geven is.

Studie
Als klein kind is Kurt veel ziek. Ondanks dat zijn moeder zich zorgen maakt over het schoolverzuim van haar zoon, haalt hij op vrijwel alle vakken zeer goede cijfers. In 1924 gaat hij theoretische natuurkunde studeren in Wenen.

Belangrijkste werk
Het belangrijkste werk van Gödel bestaat uit de twee onvolledigheidsstellingen. Tijdens zijn onderzoek voor zijn dissertatie is hij al bezig op het gebied van de logica en de volledigheid daarvan. De titel van zijn proefschrift luidt Over de volledigheid van de logische calculus. In de aanloop naar zijn habilitatie (het in Duitsland gebruikelijke examen om docent te mogen worden) werkt hij zijn gedachten verder uit. In 1931 publiceert hij zijn incompleetheidsstellingen in het tijdschrift Monatshefte für Mathematik und Physik. Deze stellingen zeggen iets over de grenzen van de wiskunde. De eerste stelling luidt

Als de rekenkunde consistent is, is ze onvolledig.

Het idee hierachter heeft te maken met de beroemde uitspraak van Epimenides, Kreta, uit de zesde eeuw voor Christus: 'Alle Kretenzers zijn leugenaars.' Dit kan aangeven dat de inwoners van Kreta leugenaars zijn en dus Epimenides zelf ook, maar tegelijk kan deze uitspraak een leugen zijn, Epimenides was immers zelf een leugenaar! Door het begrip 'waarheid' te vervangen door 'bewijsbaarheid' is Epimenides' stelling over te voeren in 'Deze stelling is formeel onbewijsbaar.' Het resultaat van Gödels eerste stelling is dat niet alle ware stellingen in een formeel systeem bewezen kunnen worden.
Zijn tweede stelling luidt

De consistentie van een voldoende rijk axiomatisch systeem,
dat ten minste de natuurlijke getallen bevat,
is met de middelen van uitsluitend het systeem zelf niet te bewijzen.

Gevolgen
Op een congres neemt Gödel het woord en presenteert hij zijn resultaten. Het dringt tot het wiskundige publiek niet of nauwelijks door wat deze stellingen voor gevolgen hebben binnen de wiskunde. De wiskunde, toonbeeld van perfecte geordendheid, volmaakt op zich, bevat stellingen die waar zijn,

Perfect

In de wereld van de wiskunde is alles in perfecte balans. Zou dat niet hetzelfde moeten zijn in de wereld van de realiteit, in tegenstelling tot wat gebeurt?

Kurt Friedrich Gödel

maar niet langs wiskundig correcte weg bewezen kunnen worden! Dit betekent een crisis binnen de filosofie van de wiskunde. Een oplettende toehoorder tijdens de presentatie is de wiskundige Von Neumann. Hij beseft dat de wiskunde niet meer dezelfde zal zijn met deze uitkomsten. Nadat hij Gödel opgezocht heeft om details over het bewijs te vragen, verklaart hij dat dit 'de grootste logische ontdekking sinds lange tijd' is.
De resultaten hebben ook invloed op de bewijstheorie van Hilbert.

Einde
Hoe ouder Gödel wordt, hoe meer dwanggedachten zich van hem meester maken. Hij is bang dat hij vergiftigd zal worden en accepteert zodoende alleen eten door zijn vrouw klaargemaakt. Soms laat hij het ook door haar voorproeven. Niemand kan hem van de gedachte afbrengen dat hij naar het leven gestaan wordt. Wanneer zijn vrouw in het ziekenhuis belandt, eet hij bijzonder slecht. Uiteindelijk sterft hij op 14 januari 1978 in het ziekenhuis. De overlijdensverklaring vermeldt als oorzaak: 'ondervoeding en uitputting veroorzaakt door een persoonlijkheidsstoornis'.

Gedicht

Hulde aan Gödel
Münchhausens stelling, paard, moeras en pruik
is betoverend, maar vergeet niet:
Münchhausen was een leugenaar.

Gödels stelling is op het eerste gezicht
onooglijk, maar bedenk wel:
Gödel had gelijk.

'In elk voldoende rijk systeem
kun je stellingen formuleren,
die binnen het systeem
niet te bewijzen of te weerleggen zijn,
als het systeem tenminste
niet zelf inconsistent is.'

Je kunt je eigen taal
beschrijven in je eigen taal:
maar niet helemaal.
Je kunt je eigen hersenen
met je eigen hersenen onderzoeken:
maar niet helemaal.
Enzovoorts.

Om zich te rechtvaardigen
moet elk denkbaar systeem
boven zichzelf uit stijgen,
dus zichzelf vernietigen.
'Voldoende rijk' of niet:
vrijheid van tegenspraak
is een teken van gebrek
of een tegenspraak.

(Zekerheid = inconsistentie.)

Elke denkbare ruiter,
dus ook Münchhausen,
dus ook jij bent een deelsysteem
van een voldoende rijk moeras.

En een deel van het deelsysteem
is de eigen pruik,
hijswerktuig
voor hervormers en leugenaars.
In elk voldoende rijk systeem,
dus ook in dit moeras,
kun je stellingen formuleren,
die binnen het systeem
niet te bewijzen of te weerleggen zijn.

Pak die stelling stevig vast.
En trek!

Hans Magnus Enzensberger
Gedichte 1955-1970.

Literatuur

  1. Dawson, J.W., 1997. Logical Dilemmas. The life and work of Kurt Gödel. A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts.
  2. Gottwald, S. e.a. Lexikon bedeutender Mathematiker. Bibliographisches Institut Leipzig, Leipzig, 1990.
  3. Guerrerio, G. Gödel - Mathematische waarheid en logische paradoxen. Veen Magazines, Amsterdam, 2001. (Originele uitgave: Le Scienze, Milaan. Vertaling: J.W. Nienhuys.)

Terug naar overzicht

Niet overnemen zonder overleg.

(c) 2008 Johannes Lok en Wiggert Loonstra   Laatste update: 26 november 2007